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A propos d'Obligement
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David Brunet
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Dossier : Le traitement d'images numériques - Des bords aux contours des objets
(Article écrit par Barrou Diallo et extrait d'Amiga News - novembre 1996)
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Les images n'ont pas fini de nous renseigner sur la complexité des phénomènes qui nous entourent. Voir, comprendre et interpréter,
tels sont les buts non exclusifs que se fixent les spécialistes de l'imagerie, du traitement du signal 2D ou 3D ou même des
informaticiens purs qui souhaitent donner une représentation plus convaincante à leurs théories. Une image peut être le reflet
d'une réalité perceptible tout comme une convention de présentation de paramètres issus de calculs plus ou moins savants.
Rappelons-nous que nous avions défini une image comme une fonction z=f(x,y). Cette vision qui, à chaque point du plan (x,y),
associe une valeur z est intrinsèquement extensible à celle qui lie deux variables indépendantes plus générales (u,v) à une
ou plusieurs lois dont le résultat dépend de ces valeurs.
Cet article se décompose en plusieurs parties : dans un premier temps, nous exposerons une autre méthode de rehaussement de
contraste, étape primordiale dans la recherche de contours d'objets, dans un second temps nous discuterons du rapport signal/bruit,
ensuite, viendra la quantification d'un bon détecteur de bord, suivi d'un algorithme de codage des contours.
Un rehaussement statistique
Afin de définir ce nouvel algorithme de rehaussement, il nous faut calculer des statistiques sur une fenêtre mouvante dans l'image.
Ces statistiques, en fait, se résumeront simplement à des moyennes et des variances. Rien de grave donc. Pourquoi tant de théorie ?
Tout simplement parce que la capacité de notre système visuel de détecter un objet de son fond (si le fond est homogène) dépend
essentiellement de la taille de l'objet en question et du ratio "s" suivant :
avec EC : l'écart-type et MOY la moyenne.
Ce ratio est appelé le ratio de contraste. Ces valeurs de moyenne et d'écart-type sont calculées sur les niveaux de gris de tous
les pixels autour du pixel courant qui définissent une fenêtre de taille 5x5 ou 11x11 par exemple dans l'image de départ. Ce qui
nous intéresse n'est pas exactement ce fameux ratio de contraste, mais son inverse :
IC(m,n) = MOY(m,n) / EC(m,n)
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Pour tout pixel (m,n) de l'image, on calcule autour de celui-ci la moyenne et l'écart-type et on les divise afin d'obtenir une
image résultat qui contient IC. Attention, IC est une valeur décimale et donc, l'image finale doit être rééchelonnée entre 0 et
255 pour pouvoir être visualisée. Nous pouvons appliquer un cas spécial de ce rehaussement statistique et calculer IC non pas en
divisant la moyenne par l'écart-type, mais en divisant la valeur originale de l'image par cet écart-type :
Cette dernière transformation appelée rééchelonnement statistique génère une image de variance unité.
Le rapport signal/bruit
Définir et quantifier l'effet de tel ou tel algorithme ou filtre peut s'effectuer visuellement ou en présentant les résultats à
des experts. Souvent, les spécialistes parlent de rapport signal sur bruit (RSB) et quantifient par là même le gain des filtres
qu'ils utilisent. Il existe donc des méthodes quantitatives qui permettent d'estimer ce fameux RSB et parmi celles-ci, une famille :
celle des moindres carrés. Prenons par exemple deux images de taille MxN, l'une originale u(m,n) et l'autre v(m,n) filtrée par un
filtre médian et calculons les deux critères LS et AMS suivants :
LS = 1/MN * SUM SUM ( SQR[(u(m,n) - v(m,n) )] )
m=1..M n=1..N
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SQR calcule le carré de son argument.
Ce critère consiste à calculer les carrés des valeurs de différences des pixels des deux images, de les sommer, et enfin, de les
diviser par le nombre de pixels total.
Le second critère ressemble à celui-ci sauf qu'il calcule en plus l'espérance mathématique E de l'image :
AMS = 1/MN * SUM SUM ( E ( SQR[(u(m,n) - v(m,n) )] ) )
m=1..M n=1..N
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Ces deux critères contribuent dans l'expression du rapport signal sur bruit par :
RSB = 10.log10 ( VAR(ima) / LS)
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ou :
RSB = 10log10 (VAR(ima) /AMS)
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VAR(ima) est la variance totale de l'image originale. Le calcul du RSB consiste donc à extraire le logarithme décimal du rapport
entre la variance de l'image et les critères LS ou AMS. Le rapport signal sur bruit s'exprime en décibels (dB). Nous pouvons
maintenant quantifier sérieusement l'apport des différents filtres d'images grâce au RSB.
Comparaison des détecteurs
Nous avons vu qu'il existait plusieurs façons de détecter des bords. Seulement, comment les comparer ? Évidemment, l'oeil effectue
automatiquement une détection des bords d'une image et à première vue, on est capable de savoir si le résultat d'un algorithme
est celui qu'on attend ou non.
Les détecteurs de bords donnent malheureusement souvent des résultats visuellement satisfaisants mais incomparables en termes de
qualité. Les différences entre algorithmes s'agrandissent d'autant plus que le bruit contenu dans l'image originale est important.
Un critère mathématique a été proposé en vu de comparer les opérateurs de détection :
C = 1/ Max(Ni, Nd) * SUM ( 1/ (1+a*SQR(di) ) )
i= 1 a Nd
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SQR élève au carré son argument et MAX prend le maximum de ses arguments.
Figure 4 : image originale
Ni est le nombre de pixels idéal et Nd est le nombre de pixels de bords détectés. di est la distance entre un pixel déclaré comme
étant un bord et le pixel de bord idéal le plus proche.
Ce critère permet, entre autres, de classifier les opérateurs et de déclarer les opérateurs de Sobel et de Prewitt comme étant les
plus performants parmi les plus rapides. Pour compléter cet exposé voici quatre détecteurs qui permettent de détecter des lignes.
En effet, les images sont en grande partie constituées d'amoncellements de traits plus ou moins fins et orientés dans toutes les
directions. Les masques qui suivent sont adaptés à ces images composées de traits et s'appliquent indépendamment en fonction de
la direction des lignes que l'on veut privilégier (E=Est, O=Ouest, N= Nord, S= Sud) :
( -1 -1 -1 ) ( -1 -1 2 )
E-O = ( 2 2 2 ) NE-SO = ( -1 2 -1 )
( -1 -1 -1 ) ( 2 -1 -1 )
( -1 2 -1 ) ( 2 -1 -1 )
N-S = ( -1 2 -1 ) NO-SE = ( -1 2 -1 )
( -1 2 -1 ) ( -1 -1 2 )
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Ces masques 3x3 sont des masques centrés, c'est-à-dire que le pixel courant dans l'image se trouve au centre du masque. N'oublions
pas que ce n'est pas sans raisons que le choix d'un détecteur de bord est primordial. Appliqués sur une image brute sans
prétraitements, les détecteurs de bords donnent seulement une idée des hautes fréquences contenues dans l'image. La figure 5
est le résultat d'un passage du masque Nord/Sud et la figure 6 est le résultat d'une détection en Nord/Est Sud/Ouest. Si le but
est d'extraire tous les bords, alors il faut appliquer les masques de toutes les directions et les combiner en additionnant les
images résultats par exemple. Comme nous l'avions mentionné le mois dernier, ces fameux bords détectés constituent souvent la
base d'une analyse de scène. Maintenant que les objets sont identifiés, passons à leur codage !
Figure 5
Figure 6
Le codage des bords détectés
Nous avons besoin ici de définir la notion de connectivité. En effet, il faut maintenant envisager la description d'un objet par
un ensemble de points "reliés" entre eux. On dit qu'un pixel est un bord en 4-connexités ou 8-connexités si et seulement s'il
a les mêmes propriétés que l'un de ses quatre ou respectivement huit voisins. La figure 1 représente les deux schémas de
connexité possibles.
Figure 1
Le codage en chaînes
Dans ce type de codage, le vecteur direction entre chaque pixel de bords est encodé dans une convention comme celle de Freeman.
Lorsque l'algorithme doit, par exemple, monter pour suivre un bord, il stocke la valeur 2, s'il doit ensuite se diriger vers la
droite, il stocke la valeur 0 et ainsi de suite pour tous les pixels des bords. Concrètement, on passe de coordonnées exprimées
sous forme de couples (x,y) en "codes" de direction. Sur la figure 3, en trait gras est représenté la vision des contours par le
codage de Freeman. Ce contour extrait d'une image dont les bords ont été détectés peut ainsi être écrit :
Contour = (07664355432206)
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Ou encore :
(000 111 110 110 100 011 101 101 100 011 010 010 000 110)
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Figure 2
Figure 3
Ce codage ouvre la porte à beaucoup de manipulations géométriques applicables directement sur les codes. Évidemment, il faut
associer à chaque code un nom qui permet de lui spécifier le point de départ car tous les autres lui sont relatifs. Un codage
de Freeman d'un contour objet est donc constitué d'un identifiant + une chaîne de bits.
Algorithme
1. Pour tous les bords de l'image.
2. Commencer à n'importe quel point A de la frontière.
4. En cas d'égalité, prendre la plus grande valeur de code (ou la plus petite).
5. Coder son orientation.
6. Continuer tant qu'il reste des pixels de bords.
Cet algorithme nécessite un paramètre qui est la taille du vecteur orientation, celui-ci définit la finesse du contour que l'on
veut coder. D'autre part, il est souvent utile d'opérer quelques prétraitements avant de coder les contours car s'ils sont issus
de détecteurs de bords, ils sont souvent sujets au bruit et l'algorithme peut détecter deux contours distincts comme étant un
seul et unique objet. Les plus simples sont les opérateurs morphologiques comme l'ouverture ou la fermeture (combinaisons successives
d'érosions et de dilations). Mais, simplicité rime souvent avec mauvaise qualité dans ce domaine et les traitements de bases ne
suffisent pas à définir un objet correctement.
Conclusion
Après avoir montré l'importance de la quantification des filtres de prétraitements et la façon de comparer les détecteurs de bords,
nous avons exposé une méthode classique de codage de contours et des détecteurs directionnels employés en visionique. Nous nous
engagerons, et cela dès le mois prochain, dans des descriptions géométriques des images afin de les faire tourner, zoomer et
déformer dans tous les sens !
Sur ce, n'hésitez pas à m'envoyer vos remarques (et encouragements) par courrier électronique,
je réponds à tous les courriers !
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