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A propos d'Obligement
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David Brunet
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Programmation : C - Graphismes 3D en C (projection, partie 1)
(Article écrit par Pascal Amiable et extrait d'Amiga News Tech - juin 1990)
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Chers lecteurs et lectrices, je vous souhaite le bonjour. Dans ce troisième volet des aventures au coeur
même de la troisième dimension, nous allons étudier les différents moyens permettant de transformer un objet tridimensionnel
en une image bidimensionnelle pour l'affichage. Ce passage de l'espace au plan s'effectue à l'aide d'une transformation
appelée "projection". Le mois dernier, je vous ai proposé un petit
programme contenant une fonction transforme() contenant des équations de projection. Cette projection, comme bien d'autres,
vous sera expliquée en détail dans cet article.
Principe
La projection consiste donc à simuler, en deux dimensions, des objets en trois dimensions tels qu'on
les perçoit avec nos yeux. Toute projection de l'espace sur le plan peut être représentée par une matrice homogène
4x4 (ne vous affolez pas, je vous explique tout de suite). Un point P (3D) est projeté en un point P' (2D) en
multipliant ses coordonnées homogènes [X,Y,Z,W] par la matrice de projection Mp.
Cette matrice de projection est un outil permettant de transformer un vecteur en un autre. Cette représentation simple
équivaut au système développé ci-dessous.
C'est déjà plus simple comme cela, non ? Vous aurez sans doute remarqué que le vecteur résultant de la multiplication est
un vecteur 3D alors qu'une projection est une transformation 3D->2D. C'est certes vrai, mais la matrice de projection
est telle que le terme Z' vaut zéro à la fin du calcul, ce qui signifie que le point résultant P' est ramené dans un
plan homogène avec pour coordonnées (X' Y' W'), Z' valant zéro.
Classification des projections
Une projection est définie par une surface de projection et un centre de projection. La surface de projection est
généralement choisie plane (ce n'est nullement une obligation et certains domaines techniques nécessitent l'utilisation
de projections non planes). Chaque point de l'objet étant projeté suivant des rayons rectilignes issus d'un centre de
projection, on appelle ce type de projection "projection géométrique plane". Elle représente l'avantage qu'un segment
de droite se transforme en un segment de droite, ce qui ne nécessite donc que le calcul des projections de ses extrémités.
On peut décomposer les projections géométriques planes en deux catégories.
- Les projections parallèles.
- Les projections perspectives.
Les projections parallèles (Fig I.a) sont caractérisées par un centre de projection ramené à l'infini. Ce
qui signifie que les rayons de projections sont parallèles à une direction de projection. De cette propriété découle
une conservation de certaines distances (ces projections sont souvent utilisées dans le dessin technique pour
cette raison).
Pour les projections perspectives (Fig I.b), le centre de projection est placé à une distance finie du plan de projection.
Il s'agit de la position de l'oeil de l'observateur. Cette projection restitue un effet de profondeur, augmentant l'effet
de réalisme. On utilise souvent la perspective dans la création d'images réalistes.
La figure ci-après (Fig II) représente la classification des projections planes que nous allons étudier. Comme vous
pouvez le remarquer, il en existe un certain nombre.
Bien, maintenant que nous avons bien regarder ce schéma, nous allons étudier chaque projection en détail.
Les projections parallèles
1. Projections axonométriques
Les projections axonométriques représentent le premier sous-groupe des projections parallèles. On définit un
plan quelconque de l'espace comme plan de projection et on projette chaque point sur ce plan suivant la normale
au plan (Fig III).
Il existe trois types de projections axonométriques particulières, les projections orthographiques, les projections
dimétriques et la projection isométrique. Nous allons commencer par étudier les projections orthographiques qui vont
nous servir à décrire à la fois la projection axonométrique générale et les deux autres types particuliers.
2. Les projections orthographiques
Les projections orthographiques représentent les projections axonométriques les plus simples. Il s'agit simplement
de supprimer une des coordonnées pour permettre le passage de la 3D à la 2D. On obtient respectivement les vues
de face (suppression de X) de côté (suppression de Y) et de dessus (suppression de Z). Sous forme matricielle, on
représente :
La vue de face par une matrice :
La vue de côté par une matrice :
La vue de dessus par une matrice :
Les projections axonométriques générales
Les projections axonométriques générales permettent de choisir librement l'angle d'observation d'une scène
en définissant une direction de projection quelconque. Cette projection consiste à exprimer les coordonnées des
objets de la scène dans un repère associé au plan de projection et ensuite à effectuer une projection orthographique
en vue de face pour éliminer la coordonnée X et obtenir ainsi une image 2D. La direction de vision est donnée par
deux points :
- Le point O' représentant la position de l'observateur.
- Un point P quelconque visé par l'observateur et appartenant au plan de projection.
La matrice de représentation de l'axonométrie générale est le produit de cinq matrices :
- Une translation T de vecteur [-Tx,-Ty,-Tz,1] dont les composantes en [X,Y,Z,W] représentent le vecteur
OO'[Tx,Ty,Tz,1] entre l'origine de la scène et la position de l'observateur.
- Une rotation d'axe vertical Z : Rz(-phi).
- Une rotation d'axe Y : Ry(-teta).
- Une rotation d'axe X : Rx(-alpha).
- Une projection orthographique selon X : Mf.
Maxo = Mf.Rx.Ry.Rz.T
Soit après un calcul long et fastidieux, Maxo vaut :
Avec :
- A = -cos(alpha).sin(phi)+ sin(alpha).sin(teta).cos(phi)
- B = cos(alpha).cos(phi)+sin(alpha).sin(teta).sin(phi)
- C = sin(alpha).cos(teta)
- D = sin(alpha).sin(phi)+cos(alpha).sin(teta).cos(phi)
- E = -sin(alpha).cos(phi)+cos(alpha).sin(teta).sin(phi)
- F = cos(alpha).cos(teta)
Soit en développé :
X' = A.X + B.Y + C.Z -Ty.W
Y' = D.X + E.Y + F.Z -Tz.W
W' = W
Et bien sûr on a Z' = 0 ce qui est tout à fait normal car on élimine une dimension.
4. Les projections dimétriques
Les projections dimétriques sont caractérisées par le fait que deux des trois vecteurs unités du repère
3D seront de même longueur après projection. Il s'agit d'un cas particulier de la projection axonométrique générale.
La matrice de projection dimétrique Mdim est la même que la matrice de projection axonométrique générale, mais il
existe une contrainte sur les angles teta et phi. En effet, pour que deux des trois vecteurs unités soient de même
longueur après projection, il faut introduire une contrainte sur phi, une fois que l'on connaît teta. La contrainte
est la suivante : soit A = SQR((sin^2(teta))/(1-sin^2(teta))).
On a phi = ARCSIN(A), où ARCSIN() est la fonction inverse de sinus (elle doit se trouver dans toute bonne bibliothèque
de fonctions qui se respecte).
NDLR : mathrans.library dans le répertoire "libs" d'une disquette Workbench.
5. La projection isométrique
Autre cas particulier de projection axonométrique, la projection isométrique. La projection isométrique
est telle que la longueur des trois vecteurs unitaires est conservée par le passage 3D en 2D.
La matrice de projection isométrique Miso est égale à la multiplication de la matrice de projection orthographique
en vue de face (Mf) et de trois rotations particulières R(x,0) angle = 0 degré, R(y,35.624) angle 35.624
degrés et R(z,45) angle = 45 degrés.
Miso = Mf.R(x,0).R(y,35.624).R(z,45)
D'où Miso vaut après calcul :
Où la fonction SQR(x) signifie racine carrée de x.
6. Les projections obliques
Dans une projection oblique, les plans parallèles au plan de projection X=0 sont projetés en vraie grandeur
(Fig IV). Les paramètres sont un angle alpha représentatif de la projection du troisième axe et un facteur de
réduction pour cet axe.
La matrice de cette projection vaut alors :
On notera deux projections obliques particulières :
- La projection cavalière : alpha = 45 degrés, I = SQR(2)
- La projection cabinet : alpha = 45 degrés, I - SQR(2)/2
La projection cavalière reporte en vraie grandeur les segments parallèles à X alors que la projection cabinet
les reporte en demi-longueur. Bien, nous avons maintenant fait le tour des projections parallèles.
On discute, on discute et avec tout cela, il ne reste plus de place pour ce mois. Donc il vous faudra attendre
le mois prochain pour voir apparaître les projections perspectives. Et nous terminerons en apothéose cette étude
des projections par la caméra virtuelle qui vous permettra de représenter à peu près tous les effets du 3D.
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